Les filtres

[Le filtre RL] [Le filtre RL série] [Le filtre RL parallèle] [Le filtre RC série] [Le filtre RC parallèle] [Le filtre LC série] [Le filtre LC parallèle] [Le filtre passe bande] [Le filtre réjecteur] [La bande passante] [Le filtre passe bande - Sélectivité -] [Le filtre passe bande - Facteur de forme -]

1. Rappels importants.

Nous avons exprimé l'impédance d'une bobine et d'un condensateur en fonction de la fréquence et de la tension à laquelle ils étaient soumis.

• Bobine: Z = 2pfL. Voir chapitre.


• Condensateur: Z = 1/2pfC. Voir chapitre



En HF (hautes fréquences):
-- Le condensateur a une petite impédance. Il laisse passer le courant et se comporte comme un interrupteur fermé
-- La self a une impédance élevée et se comporte comme un interrupteur ouvert

En BF (basses fréquences):
-- Le condensateur a une impédance élevée et se comporte comme un interrupteur ouvert.
-- La self a une impédance faible et se comporte comme un interrupteur fermé.


Ces notions sont à retenir pour pouvoir différencier les filtres passe-bas et passe-haut.

2. Le filtre RL

2.1 RL série

Impédance du circuit. Pour cela on utilise la construction de Fresnel et on applique le théorème de Pythagore.

• Fréquence de coupure du filtre
  
  L'application de la loi de Thomson permet de connaître la fréquence de coupure du filtre autrement dit connaître les fréquences que laissera passer le filtre.
  A f_c, R = X_L
  R = 2pf_cL
  Et donc:

  fc = R/2pL Avec R en W, L en H et fc en Hz.

  
  
  
• Facteur de qualité Q ou coefficient de surtension




Q = XL/R




• Déphasage intensité et tension.


C'est l'angle formé par R et l'impédance du filtre (voir la construction de Fresnel ci-dessus.



tan a = XL/ R et a = tan-1(XL/ R) L'angle peut s'exprimer en degrés ou en radians.



A f_c, le déphasage est de 45°. En effet, comme R = X_L
tan a = 1 et
a = tan^-1 1 = 45° = p / 4 rd

2.2 RL parallèle

Impédance du circuit. On utilise, comme dans le filtre RL série, la construction de Fresnel.

• Fréquence de coupure et déphasage.


On applique les mêmes formules que pour le filtre RL série.

2.3 Passe-haut ou passe-bas?

Il est très important de savoir reconnaître ce genre de matériel.
Voici une méthode infaillible. Pour cela, il faut se rappeler ce qui a été dit sur le comportement des selfs et condensateurs en HF et BF.

Le filtre	En BF	En HF	Nature du filtre
			En BF, Vs = 0. La self agit comme un interrupteur fermé (court-circuit). En HF, Vs existe. Il s'agit donc d'un Filtre passe-haut
			En BF, Vs existe. La self agit comme un interrupteur fermé. En HF, Vs = 0. La self agit comme un interrupteur ouvert. Il s'agit donc d'un Filtre passe-bas

3. Le filtre RC

3.1 Le filtre RC série

Impédance du circuit. Pour cela on utilise la construction de Fresnel et on applique le théorème de Pythagore.

• Fréquence de coupure du filtre RC
  
  L'application de la loi de Thomson permet de connaître la fréquence de coupure du filtre autrement dit connaître les fréquences que laissera passer le filtre.
  A f_c, R = X_c
  R = 1/2pf_cC
  Et donc:

  fc = 1/2pRC Avec R en W, C en F et fc en Hz.

  
  
  
• Facteur de qualité Q ou coefficient de surtension




Q = Xc/ R




• Déphasage intensité et tension.


C'est l'angle formé par R et l'impédance du filtre (voir la construction de Fresnel ci-dessus.



tan a = Xc/ R et a = tan-1(Xc/ R) L'angle peut s'exprimer en degrés ou en radians.



A f_c, le déphasage est de -45°. En effet, comme R = X_c
tan a = -1
a = tan^-1 -1 = -45° = -p / 4 rd
Attention: ici X_c est dirigé dans le sens négatif (vers le bas) donc un déphasage négatif.

3.2 RC parallèle

Impédance du circuit. On utilise, comme dans le filtre RC série, la construction de Fresnel.

• Fréquence de coupure et déphasage.


On applique les mêmes formules que pour le filtre RC série.

3.3 Passe-haut ou passe-bas?

Il est très important de savoir reconnaître ce genre de matériel.
On applique la même méthode infaillible. Pour cela, il faut se rappeler ce qui a été dit sur le comportement des selfs et condensateurs en HF et BF.

Le filtre	En BF	En HF	Nature du filtre
			En BF, Vs existe. Le condensateur agit comme un interrupteur ouvert. En HF, Vs =0. Le condensateur agit comme un interrupteur fermé (court-circuit). Il s'agit donc d'un Filtre passe-bas.
			En BF, Vs =0. Le condensateur agit comme un interrupteur ouvert. En HF, Vs existe. Le condensateur agit comme un interrupteur fermé. Il s'agit donc d'un Filtre passe-haut

4. Le filtre LC

4.1 Le filtre LC série

Impédance du circuit. Pour cela on utilise la construction de Fresnel et on applique le théorème de Pythagore. Ce qui n'est pas utile ici. Z ne peut être négative. Si Xc > XL alors on prend la valeur absolue du résultat (on inverse le signe du résultat). Si XL > Xc, l'impédance est inductive. Si XL < Xc, l'impédance est capacitive.

• Fréquence de résonnance du filtre LC
  
  L'application de la loi de Thomson permet de connaître la fréquence de résonnance du filtre.
  A f₀, X_L = X_c
  2pf₀L = 1/2pf₀C
  Et donc: 4p²f₀²LC = 1
  

  Avec f0 en Hz, C en F et L en H.

  
  
  
• Facteur de qualité Q ou coefficient de surtension




Cette formule s'applique aussi pour le circuit LC parallèle.




• Déphasage intensité et tension.


C'est l'angle formé par l'axe portant R et l'impédance du filtre (voir la construction de Fresnel ci-dessus.



Si l'impédance est inductive, a = 90° = p / 2 rd Si l'impédance est capacitive, a = -90° = -p / 2 rd L'angle peut s'exprimer en degrés ou en radians.




• Filtre passe-bande ou résonnant.



Que ce soit en BF ou en HF, la tension de sortie de ce filtre est nulle. Elle existe pour une bande de fréquences autour de la fréquence de résonnance du filtre. Ce filtre est appelé passe-bande ou résonnant.

4.2 Le circuit LC parallèle.

Impédance du circuit. Ce circuit est appelé circuit bouchon. Il est utilisé pour capturer les signaux HF. A la résonnance, l'impédance est si grande qu'il les empêche de sortir. Atténuation: Elle est de -12 dB par octave et par cellule LC. Fréquence de résonnance et déphasage. On applique les mêmes formules que pour le filtre RC série. Filtre réjecteur de bande ou anti-résonnant. A la résonnance l'impédance de ce filtre est infinie. La tension de sortie et le gain sont nuls. Ce filtre est appelé réjecteur de bande ou anti-résonnant. 4.3 Passe-haut ou passe-bas? Il est très important de savoir reconnaître ce genre de matériel. On applique la même méthode infaillible. Pour cela, il faut se rappeler ce qui a été dit sur le comportement des selfs et condensateurs en HF et BF.

Le filtre	En BF	En HF	Nature du filtre
			En BF, Vs existe. Le condensateur agit comme un interrupteur ouvert et la self comme un interrupteur fermé. En HF, Vs =0. Le condensateur agit comme un interrupteur fermé (court-circuit). Il s'agit donc d'un Filtre passe-bas.
			En BF, Vs = 0. La self agit comme un interrupteur fermé et la capa comme un interrupteur ouvert. En HF, Vs existe. Le condensateur agit comme un interrupteur fermé et la capa comme un interrupteur ouvert. Il s'agit donc d'un Filtre passe-haut

5. La bande passante.

Pour déterminer la bande passante d'un filtre, on trace la courbe du gain (en dB) en fonction des fréquences auxquelles il est soumis.



Bande passante = f2 - f1


A remarquer que plus cette bande passante est étroite, plus le filtre est sélectif.

6. Le filtre passe-bande, sélectivité.

Taux de sélectivité = (Df à - 3 dB / Df à - 60 dB) x 100

Exemple:
f₁ = 1 600 kHz, f₂ = 1 785 kHz, f₀ = 1 800 kHz, f₃ = 1 815 kHz, f₄ = 2 000 kHz,

Taux de sélectivité = [(1 815 - 1 785) / (2 000 - 1 600)] x 100
Taux de sélectivité = 30 / 400 x 100
Taux de sélectivité = 7,5 %

• Facteur de forme.



DF = Df à - 60 dB / Df à - 3 dB)



Exemple:
En prenant les données numériques données ci-dessus.
DF = (2000 - 1600) / (1815 - 1785)
DF = 400 / 30
DF = 13,33

7. Exercices.

Exercice 1 ***Besoin d'une calculatrice?***

Solution Ce filtre est un filtre passe-bas.

Exercice 2 ***Besoin d'une calculatrice?***

Solution Ce filtre est un filtre passe-bas.

Exercice 3 ***Besoin d'une calculatrice?***

Solution Ce filtre est un filtre passe-haut.

Exercice 4 ***Besoin d'une calculatrice?***

Solution Ce filtre est un filtre passe-haut.

Exercice 5 ***Besoin d'une calculatrice?***

Solution On applique R = XL R = 2pfcL fc = R / 2pL fc = 1000 / 2p x 20 x 10-6 fc = 7,957 MHz

Exercice 6 ***Besoin d'une calculatrice?***

Solution Circuit RL série. On applique: Z = [R2 + (2pL)2]0,5 Il est rappelé que l'exposant 0,5 remplace une racine carrée. Z = (50002 + (2p x 800 x 20 x 10-6)2]0,5 Z = 707 W

Exercice 7 ***Besoin d'une calculatrice?***

Solution On applique Q = Xc / R Q = (1 / 2pfC) / R Q = (1 / 2p x 1000 x 10 x 10-12) / 500 Q = 31 830